ゼノンの亡霊 No2.


	ゼノンの亡霊～アキレスと相対性理論					To old edition To English edition

	Hiromasa Noguti -------------- Cotosiro. The Japanese edition was written in Justnet in 1999 year, was translated to English in November 2000. And, those pages were shifted to Nifty in December, 2003. This was rewritten in May 9, 2005. This was revised in November 23, 2013. It added to this page the sevaral URL to link up, July 30, 2016. Noguti Hiromasa.





	あれは妙に寝苦しい真夏の夜の出来事でした。１人の幽霊が突然、私の夢枕に現われたのです。私がふっと、視線を向けると、彼は鋭い顔つきで、私をじろり、と睨みました。ですが、その顔には、近寄りがたい威厳があります。「ゼノンであるに違いない！」私は瞬時に、そう直感しました。何故って、私は昔、彼の展開する議論に大いなる矛盾が在る事を見抜いて、論破した事があったからです。それで、彼は私に復讐をしようと、その機会を狙っていたのに違いありません。何故、今、現れたのかは知らないけれども、いわれのない怨みである事は明白です。私は負けじと、幽霊をにらみ返しました。すると、何故か、ゼノンの顔が曇ります。そして、彼は戸惑う私に、「確かに、あなたは何かを知っています、しかし、あなたは此処には、いません」と、悲しげな調子で、言うのです。私は意味が分からずに、彼の様子を窺うと、彼の目がかすかに光って、再び私を凝視しました。「こいつ、議論をふっかけようと言うのか？愚かしい」私は心の奥底で、そう囁くと、密かにゼノンを軽蔑しました。しかしながら、あいては何しろ、幽霊です。もし、腹を立てて、呪い殺そうとでもするのなら、それは非常に不味いでしょう。「おお、偉大なるゼノンよ！どうか、私のいたらぬ所をお教え下さい！」私は咄嗟に、彼を刺激せぬよう、謙虚な態度を繕って、そのように彼に尋ねました。
記憶の秘密と可能世界			すると、ゼノンは、「良いか？心して聞くのだ、実を言えば、お前が見抜いた矛盾の中にこそ、私の真意が隠されている」と、言います。でも、それは随分と奇妙な話です。「おや、それは妙ではないか？」私はつい、うっかりと、ため口で、口を滑らせました。もちろん、ゼノンはじろりと私を睨みます。その恐ろしさに、私は思わず、縮み上がりました。しかし、此処で弱みを見せたなら、ゼノンはかさに掛かって、私を襲うかも知れません。ひょっとすると、取り殺されるかも知れません。私は直ちに平静を装って、知らぬ振りして、ゼノンを見ました。けれども、ゼノンの態度は奇妙です。彼は悲しげな様子で私を見ます。彼の眼からは悲しみと哀れみを伴った慈愛の念すら、感じるのです。「これはどういう事なんだ？」私は彼の意外な様子にまたしても酷く戸惑いました。見ると、彼の全身からは、青白いオーラが溢れ出ております。それはまるで、私の心に染み込むようです。
	なんと気高く、なんと悲しげな表情でしょう！私は、ただ、息をこらして、彼を見つめるだけでした。けれども、私がまばたきをして、再び、彼を見ようとすると、既に、ゼノンは其処にいません。「私はここに来るべきではなかったな！」悔しげな声が僅かに響くと、闇に消え入るだけでした。どうやら、ゼノンは去ったようです。そして、それ以来、ゼノンが現れる事はありませんでした。「私はゼノンに勝ったのだ！」不遜にも、私の心はそのような妄想で満たされました。しかしながら、あの気高さと悲しみに満ちた彼の目は果たして、何を意味するのでしょう？何故かは分かりませんが、私は其処に深遠なる示唆を感じるのです。私はゼノンについて考えざるを得ませんでした。

	ゼノンは多くのパラドックスを残している、と言われています。アキレスと亀のレースもそのようなパラドックスの１つです。其処で、此処では、少し、そのパラドックスについて考えてみたいと思います。しかしながら、このレースは少し普通のレースとは違っています。亀の速さは相当にアキレスより遅いですから、亀には、ハンディキャップが与えられます。すなわち、アキレスのスタートラインは亀のスタートラインより、かなり後方にセットされます。その代わりに、ゴールは設定されません。従って、アキレスが亀を追い越すまで、このレースは続けられます。つまり、もし、彼が亀を追い越すことができるなら、アキレスは勝利の名誉を手に入れます。逆に、亀が常にアキレスの前を走っているなら、亀が勝利のタイトルを獲得します。けれども、常識的に考えるなら、アキレスはいつかは、亀を追い越す事が出来る筈です。どう見ても、アキレスが勝つように思われます。しかしながら、ゼノンは、「アキレスは亀を追い越せない、並ぶ事すら不可能である」と、断言しました。その理由は次の様なものでした。
	まず、アキレスと亀はスタートの合図で、同時に走り始めます。アキレスがまもなく、亀のスタートラインに達することは明白です。そして、その時、亀はいずれかの地点、すなわち、ポジションＱに達するでしょう。ポジションＱが亀のスタートラインより少し前方にある事は当然です。そして、アキレスがポジションＱに着くとき、亀はいずれかの地点、すなわち、ポジションＹに達します。いくら、亀が遅いとは言っても、走っているのですから、ポジションＱより、いくらか進んでいる事は当然です。ですから、ポジションＹがポジションＱより少し前方に位置することも当然です。もし、この時、ポジションＹの上で亀が油断をして、昼寝などをするのなら、アキレスは亀に追いつくかもしれません。
	しかし、この亀は非常に真面目なので、全力を振り絞って走っております。従って、アキレスがポジションＹに着いた時、亀はポジションＹより少し前方に進んでおります。つまり、亀はいずれかの位置、すなわち、ポジションＺに達します。蛇足ながら、その時、ポジションＺはポジションＹより少し前方に位置します。もちろん、彼らが走るにつれて、彼らの間の間隔は加速度的に短くなります。それはアキレスが亀より非常に速いからです。しかしながら、もし上記の論理が適切であるなら、彼らの位置関係は変化しません。つまり、アキレスは常にカメの後ろに位置します。もちろん、この場合、亀とアキレスは大きさを持たない事に成っております。従って、アキレスが彼の最後のワンステップで亀を跨ぐなどと言う事は不可能です。さて、あなたはこの理屈をどの様に考えますか？おそらく、あなたは「それはおかしいよ」と、言うでしょう。ならば、ゼノンの論法だけを使って、この理屈の矛盾を見つけだす事が出来るでしょうか？少し怪しい方法ではありますが、私はこのレースに一匹のカタツムリを参戦させました。（ちなみに、確かな論法と結論については、この推論を終えた後で、述べたい、と考えます）。言うまでもなく、カタツムリの速さは亀より相当に遅いです。従って、カタツムリのスタートラインは亀よりかなり前方に設定されます。つまり、亀のスタートラインはカタツムリのスタートラインよりはるか後ろに位置します。そして、最も後方のスタートラインにアキレスが付いております。
		さて、いよいよ、レースが始まりました。しかしながら、このレースがゼノンの論理で動く世界で行われる事に注意して下さい。彼らはピストルの轟音に弾かれる様に、それそれの位置からスタートしております。私の目の前では、カタツムリが懸命に走っております。その後ろでは、亀が粘り強くカタツムリを追いかけております。そして、最も遠いスタートラインから、アキレスが矢のような速さで、亀とカタツムリを追っていました。しかしながら、その光景は少し奇妙です。どうか、この際、亀を見ないで、差し当たり、アキレスとカタツムリだけに集中して下さい。全員を見ると、少し都合が悪いからです。ところで、私は推論を容易にするために、彼等の早さの比率を次の様に設定しました。 * アキレス : 亀 : カタツムリ = 4 : 2 : 1.　それで、彼らのスタートラインと通過ポイントは以下の様に想定する事が出来ます。
	アキレスのスタートライン← 400m→亀のスタートライン←300m→カタツムリのスタートライン←100m→the position-A←100m→the position-B ←25m→the position-C.
	この場合、アキレスが亀のスタートラインに達した時、カタツムリはposition-Aに達するはずです。実際、その時、カタツムリはposition-Aの上におりました。また、その時、アキレスは既に、400mもの距離を走っております。従って、カタツムリのスタートラインからposition-Aまでの距離は百メートルです。言うまでもなく、それは400m ×１/４=100m であるからです。また、アキレスがposition-Aに達する時、亀のスタートラインからposition-Aまでの距離は400mです。その時、カタツムリは既に、100m、つまり、前出の距離の1/4を走っていました。その故に、position-Bはその時、カタツムリが到達した地点です。さらに、アキレスがposition-Bに到達する時、彼は既に、position-Aから100mを走っていました。そして、その時、カタツムリは既に、25m、すなわち、前出の距離の1/4を走っていました。その到達点がposition-Cです。ところで、その時、亀は果たして、どこを走っているのでしょうか？実のところ、誰も亀を観察していないので、誰も亀の位置を知りません。何故ならば、これはゼノンの論理で動いている世界の話ですから、観察者はアキレスとカタツムリの関係とアキレスと亀の関係を同時に見る事は許されず、そのいずれかを観察する事を強いられるからです。
	つまり、観察者が同時に、すべての関係を見た場合、その世界は瞬時に崩壊するのです。ですから、この場合、我々はアキレスとカタツムリだけを観察しました。また、その故に、もし、我々が亀の位置を知ろうとするなら、我々は常にアキレスと亀の位置関係を想像しながら、亀が通過する位置を計算しなければなりません。さもなくば、誰も亀の位置を推測することはできません。計算する以外に、位置を知る術がないからです。従って、亀を含むレースの様相を語る場合、それがゼノンの論理に沿っているかどうかは疑わしい部分があります。しかしながら、私はあえて、もう少し、それら３人の走者の関係について考えたい、と思います。其処で、ゼノンの論理に基づいて、考察する為に、次の二つのチャートを表示しました。
	1st chart: アキレスが亀を追いかける時の様相アキレスのスタートライン --400m-- 亀のスタートライン--200m-- position-A2 --100m-- position-B2 --50m-- position-C2 --25m-- position-D2 --12,5m-- position-E2. 2nd chart:; アキレスがカタツムリを追いかける時の様相アキレスのスタートライン --700m-- カタツムリのスタートライン --175m-- position-A3 --43.75m-- position-B3 --21.875m-- position-C3.
	まず、第１番目のチャートを見てください。アキレスとカメが絶対に通過することができないある特定の点が、いつか、彼らの目の前に現われる事が分かります。そこで、もしその点と彼のスタートラインの間の間隔をＺと表すなら、アキレスが到着するであろう最後の点は次の方程式によって決められます。それから、亀が到着するであろう点は同じく同様の方法で決められます。
アキレスが彼のスタートラインから到達できる限界点までの距離: 亀がそのスタートラインから到達できる限界点までの距離:
	もし、この方程式を計算するなら、Ｚの値は際限なく８００メートルに近づきます。しかし、数学的には、これは「Ｚ＝８００メートル」を意味します。同じく、Ｚ２の値は４００メートルです。そして、アキレスのスタートラインとカメのスタートラインの間の距離にＺ２を加えると、それは八百メートルになります。つまり、その時、その点に達しているアキレスは数学上、亀と並んでいます。しかしながら、ゼノンに言わせると、アキレスと亀は其処に至っても、なお、完全には並んでいません。彼は「たとえ、その間隔が際限なく小さいとしても、アキレスは依然として、カメの後ろを走っている」と、言います。そこで、第２番目のチャートを見てください。奇妙な事に、アキレスとカタツムリは八百メートルより多くの距離を走ることができます。つまり、第１番目のチャートにおいて、亀はアキレスのスタートラインから、ほぼ八百メートルの位置に留まっていますから、第２番目のチャートのアキレスがどこかの地点で、第１番目のチャートで走っている亀を追い越すことが出来そうです。ただ、この場合、実際のレースでは、前に述べた様に、観察者はアキレスとカタツムリだけを見なければなりません。観察者がそうしている時に初めて、アキレスは亀を追い越すことができます。つまり、アキレスが亀を追い越す瞬間には、誰もその現場を見ていません。ならば、一体、誰がアキレスが亀を追い越した、と言えるのでしょう？この推論はやはり、どうも奇妙です。ひょっとして、それは上記の結論がただ数学的な罠の結果、あるいは、単なる数学的な推測に過ぎない、ということでしょうか？本音を言うと、この結論は一見、ゼノンの論理に基づいているように見えるけれども、厳密に言えば、ちょっと怪しい、様に思われます。ならば、ゼノンが主張する様に、アキレスは亀を追い越せないのでしょうか？
		しかしながら、たとえ、私の奇妙な結論が数学的な罠の結果であるとしても、ひょっとして、結論自身は正しいのかもしれません。私はそこで、少し考えました。そして、ある疑問に捕らわれたのです。１人の観察者が、ゼノンの論理に従って、アキレスとカタツムリだけを観察する時、もし、他の観察者が同様にして、アキレスと亀だけを観察するなら、果たして、何が起こるでしょうか？おそらく、アキレスは同時に２つのポジションを占めるように思われます。しかし、我々の物理世界では、運動物体が同時に、２つのポジションを占める事は不可能である、と言われております。ならば、上記の陳述を矛盾と言わずして、何を矛盾というのでしょうか？つまり、このレースはゼノンの世界でのみ、実現可能であるのです。そこで、次に、厳密にゼノンの論理に基礎づけられるゼノンへの反論を紹介します。
	さて、もし、スタートライン上のアキレスが亀を追い越そうと考えるなら、アキレスは最初に亀と彼との中間点に到達しなければなりません。しかしながら、彼はその前に、最初に述べた第一中間点と彼との間にある第二中間点に到達しなければ為りません。さらに、その前に、彼は第二中間点と彼との間にある第三中間点に到達しなければ為りません。次のチャートはそのことを表現します。アキレスのスタートライン-２- 第三中間点 -４- 第二中間点 --８-- 第一中間点 --１６-- 亀 * なお、添付された数字はそれそれの地点間の距離の比率を表します。つまり、アキレスが通過しなければならない中間点は無数にあります。そして、言うまでもなく、そのような中間点はアキレスと第三中間点の間にさえ無限に横たわっています。果たして、それは何を意味するでしょうか？私はアキレスがまったく前進できないことを意味する、と理解しました。もし、ゼノンの論理に忠実であるなら、どれほど時間を費やすとしても、最初に現れる点を通過する事すら、不可能である、と考えるからです。つまり、問題のゼノンの論理に従うなら、移動可能なものなど、存在しません。（ひょっとして、もし、向かうべき目標を定めないなら、移動は可能であるかもしれません。しかしながら、ゼノンはこのレースにおいて、亀という目標を設定しております。ですから、今はこの問題には触れません）。それにもかかわらず、ゼノンはアキレスなどを問題のレースで走らせようとしました。これはひどい矛盾です。彼の論理が彼の議論の前提を破ったのですから、上記の結論は正当でしょう。　この部分には、thinking error　が在りましたので、修正しました。2013年11月23日しかしながら、古代ギリシャのゼノンは今なお、知られる哲学者です。彼ほどの人間が何故、この程度のパラドックスを持ち出したのでしょうか？あるいは、このパラドックスの背後には、もっと深遠な意味がある様にも思われます。ゼノンの幻が現われた時、彼は最初に「あなたは何かを知っています、だが、あなたはここには、いません」と、述べました。ひょっとして、ゼノンは現象は観察者とその認識対象との関係に対応して、生起する、と言おうとしたのかも知れません。観察者の概念はアインシュタインが初めて、客観的な認識の中に持ち込んだ、と言われます。私も今まで、その様に考えておりました。しかしながら、実際は、ゼノンであったのかもしれません。
			人には、幽霊も必要です
	そして、ゼノンは「矛盾の中にこそ、私の真の意図がある」とも、述べました。更に、彼はその昔、連続的に飛んでいる矢は実は、まったく動いていない、とも述べていました。おそらく、その陳述は私が先ほど、アキレスが全く動けないと、述べた際の、理屈から出たものであるように思われます。逆に言えば、私はその理屈を使わせて貰いました。いずれにしても、空間を飛んでいる矢は不連続に飛んでいる。おそらく、彼はそう言うつもりであったのに違いありません。ひょっとして、彼は量子論の様な考えを持っていたのかも知れません。そして、もしも、そうならば、彼はその時、可能性の世界を想像した様にも思われます。私も量子論について聞いて以来、その様なイメージを持っております。もう少し、詳細に述べるのならば、私は粒子と波動とは物理学上、対等な関係にはない、と思っております。つまり、波動への認識が認知主体によって望まれる時、波動が目前に粒子（物質）として現われる、と考えております。

国の政策とコストの関係			ですから、波動は現実における存在ではなく、可能性としての実在です。おそらく、この考え方はまもなく真実として、認められる様に成るでしょう。ひょっとしますと、ゼノンも、そのように考えていたのかもしれません。いずれにしても、彼のパラドックスには、その様な深い意味が秘められている様に思われます。ただ、残念な事に、彼の表現は古代と言う時代の制約のために、未完成なものと成りました。うまく表現するための適当な方法が無かったのです。あの青い光を放つ彼の目は深い失望を感じさせます。誰も彼の本当の意図に気付かなかったからでしょう。私はゼノンの洞察力はアリストテレスやプラトンなどをはるかに超えていた、と考えております。その故に、彼の真意は理解されぬ侭に終わりました。彼が亡霊と成ったのは、その所為であるのに違いありません。

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